(31).    Другое племя. Его язык такой же, как в (30). Согласно наблюдениям наибольшая используемая цифра — 159. В жизни этого племени цифра 159 играет особую роль. Предположим, я говорю: «Они рассматривают это число как наибольшее», — но что это означает? Можем ли мы ответить: «Они только говорят, что оно наибольшее»? — Они, конечно, произносят слова, но откуда мы знаем, что они под ними подразумевают? Критерием того, что они подразумевают, были бы случаи, при которых это слово мы были бы склонны переводить нашим словом «наибольшее», т. е. та роль, которую, как мы могли бы сказать на основании нашего наблюдения, это слово играет в жизни племени. Фактически, мы можем легко вообразить цифру 159, используемую в этих случаях в связи с такими жестами и формами поведения, которая заставляла бы нас сказать, что эта цифра играет роль непреодолимой границы, даже если племя не имеет слова, соответствующего нашему слову «наибольшее», и критерий для цифры 159 как наибольшей не состоял бы ни в чём таком, что было сказано о самой цифре.

(32). Племя имеет две системы счёта. Люди учатся считать при помощи алфавита от А до Z, а также при помощи десятеричной системы, как в (30). Если человек должен считать объекты при помощи первой системы, ему приказывают считать «закрытым способом», во втором случае «открытым способом»; и в племени слова «закрытый» и «открытый» употребляются также, когда речь идет о закрытой и открытой двери.

(Замечания. Случай (23) очевидным образом ограничен количеством карточек. По поводу (24): отметим аналогию, а также отсутствие аналогии между ограниченным запасом карточек (23) и слов в нашей памяти (24). Заметим, что ограничение в (26), с одной стороны, заключается в приспособлении (счёты с 20 костяшками) и его использовании в нашей игре, а с другой стороны (совершенно иным образом), в том факте, что в реальной практике разыгрывания игры должны сосчитываться не более 20 объектов. В (27) этот последний вид ограничения отсутствовал, но большая костяшка скорее подчеркивала ограничение наших средств. Является ли (28) ограниченной или неограниченной игрой? Описанная нами практика даёт границу 40. Мы склонны считать, что игра, ‘имея эту границу’, может продолжаться до бесконечности, но вспомним, что мы могли бы также интерпретировать предшествующие игры как начальную стадию развития системы. В (29) систематический аспект используемых цифр даже более заметен, чем в (28). Могут сказать, что в этой игре не было ограничений, навязанных её приспособлениями, если таковым не считать замечание, что числа до 20 заучиваются наизусть. Это предполагает идею, что ребёнка не обучают «понимать» систему, которую мы видим в десятеричной записи. О племени в (30) мы определённо должны сказать, что его членов тренируют конструировать цифры [construct numerals] неограниченно, что арифметика их языка не является конечной, что их ряды чисел не имеют конца. (Как раз в том случае, когда цифры строятся ‘неограниченно’, мы говорим, что люди обладают бесконечным рядом чисел.) Пример (31) может показать вам, что можно вообразить массу разнообразных случаев, о которых мы склонны были бы сказать, что арифметика племени имеет дело с конечными рядами чисел, даже несмотря на тот факт, что способ, с помощью которого детей тренируют употреблять цифры, не предполагает верхней границы. В случае (32) термины «закрытая» и «открытая» (которые можно с помощью незначительного изменения примера заменить терминами «ограниченная» и «неограниченная») вводятся в язык самого племени. В употреблении слова «открытая», которое было введено в эту простую и ясно очерченную игру, нет ничего таинственного. Но это слово соответствует нашему слову «бесконечная», и игры, разыгрываемые в последнем случае, отличаются от (31) только гораздо большей усложнённостью. Другими словами, наше использование слова «бесконечная» столь же непосредственное, как и использование слова «открытая» в (32), и наша идея о том, что его значение является ‘трансцендентным’, покоится на непонимании.)

Грубо говоря, мы могли бы сказать, что неограниченные случаи характеризуются следующим: они разыгрываются не с определённым запасом цифр, но вместо этого — с системой для конструирования цифр (неограниченно). Когда мы говорим, что некто обеспечен системой для конструирования цифр, мы, в общем, думаем об одной из трех вещей: а) о том, что его тренировали образом, подобным тому, что описан в (30), где, как нас учит опыт, ему дается возможность пройти тесты типа тех, что там были упомянуты; b) о создании в сознании или в мозге того же человека предрасположенности реагировать таким образом; с) о предоставлении ему общего правила для конструирования цифр.

Что мы называем правилом? Рассмотрим следующий пример:

• (33). В передвигается в соответствии с правилами, которые ему даёт А. В предоставлена следующая таблица:

А отдаёт приказ, составляя буквы из таблицы, скажем: «aacaddd». В смотрит на стрелки, соответствующие каждой букве, и соответственным образом движется; согласно нашему примеру так:

Таблицу (33) мы должны назвать правилом (или же «выражением правила». Почему я даю эти синонимичные выражения, выяснится позже.) Мы не склонны называть правилом само предложение «aacaddd». Это, конечно, описание пути, который должен проделать В.

С другой стороны, при определённых обстоятельствах такое описание можно было бы назвать правилом, например, в следующем случае:

(34).    В должен рисовать различные орнаментальные линейные конструкции. Каждая конструкция — повторение одного элемента, который дает ему А. Так, если А отдает ему приказ «cada», В рисует линию следующим образом:

В этом случае, я думаю, мы сказали бы, что «cada» является правилом рисования узора. Грубо говоря, это характеризует то, что мы называем правилом, которое может быть применено неоднократно и в неопределённом числе случаев.

Например, ср. с (34) следующий случай:

• (35).    На шахматной доске разыгрывается игра с фигурами различных очертаний. Правило указывает, каким образом разрешено двигаться каждой фигуре. Так, правилом для одной фигуры является «ас», для другой — «асаа» и т. д. Первая фигура тогда может делать ход типа следующего:

вторая — такой:

И формула типа «ас», и диаграмма вроде той, что соотнесена с такой формулой, могут быть названы здесь правилом.

(36).    Предположим, что после того, как игру (33) разыграли описанным выше образом несколько раз, ее разыгрывали со следующими вариациями: В больше не смотрит в таблицу, но при чтении приказа А буквы вызывают у него образы стрелок (по ассоциации) и он действует согласно этим воображаемым стрелкам.

(37).    Сыграв несколько раз подобным образом, В передвигается согласно записанному приказу так, как он действовал бы, смотря на стрелки или их воображая, но на самом деле без каких-либо изображений-посредников такого рода.

Представим себе и такой вариант:

• (38).    В, натренированному следовать записанному приказу, показывают таблицу из (33) лишь один раз, после чего он далее выполняет приказы А без дальнейшего вмешательства таблицы тем же самым образом, которым В действует в (33) каждый раз с помощью таблицы.

В каждом из этих случаев мы могли бы сказать, что таблица (33) является правилом игры. Но в каждом из них это правило играет разные роли. В (33) таблица является инструментом, используемым в том, что мы назвали бы практикой игры. В (36) она заменяется работой ассоциации. В (37) даже эта тень таблицы исключается из практики игры, а в (38) таблица, по общему признанию, является лишь инструментом для тренировки В.

Но представим себе ещё и такой случай:

• (39).    Племя использует определённую систему коммуникации. Я буду описывать её, говоря, что она похожа на нашу игру (38) за исключением того, что при тренировке не используется таблица. Тренировка может состоять в том, что ученика несколько раз за руку проводят по тропинке, по которой хотят, чтобы он ходил.

Но мы можем также вообразить случай:

• (40).    когда даже эта тренировка не являлась бы необходимой, и когда, скажем, сам взгляд на буквы abed естественным образом порождал бы призыв идти по описанному пути. Этот случай, на первый взгляд, кажется загадочным. Здесь мы, по-видимому, предполагаем весьма необычную работу сознания. Или мы можем спросить: «Откуда он должен знать, каким путём идти, если ему показали букву У?» Но не является ли реакция В в этом случае той же самой реакцией, которая описана в (37) и (38), и фактически нашей обычной реакцией, когда, например, мы слышим и выполняем приказ? Ибо тот факт, что тренировка в (38) и (39) предшествовала выполнению приказа, не меняет процесс выполнения. Другими словами, ‘странный ментальный механизм\’, предложенный в (40), есть не что иное как то, что, по нашему предположению, создается в результате тренировки (37) и (38). ‘Но разве мог такой механизм быть у тебя от рождения?\’ А разве у нас вызывает какие-либо затруднения предположение, что механизм, присущий от рождения В, это тога, который дал В возможность реагировать на тренировку таким образом, каким он это делает? И вспомним, что правило или объяснение, данное в таблице из (33) знакам abed, по существу не было окончательным объяснением и что мы могли бы задать таблицу для использования таких таблиц и т. п. (ср. (21)).